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△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c.①若ab>c2,则C<π3;②若a+b>2c,则C<π3;③若a3+b3=c3,则C<π2;④若(a+b)c<2ab,则C<π2;⑤若(a2+b2)c2<2a2b2,则C>π3.其中所有叙
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△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c.
①若ab>c2,则C<
; ②若a+b>2c,则C<
;
③若a3+b3=c3,则C<
; ④若(a+b)c<2ab,则C<
;
⑤若(a2+b2)c2<2a2b2,则C>
.
其中所有叙述正确的命题的序号是______.
①若ab>c2,则C<
π |
3 |
π |
3 |
③若a3+b3=c3,则C<
π |
2 |
π |
2 |
⑤若(a2+b2)c2<2a2b2,则C>
π |
3 |
其中所有叙述正确的命题的序号是______.
▼优质解答
答案和解析
①∵a2+b2≥2ab,
∴由余弦定理得cosC=
,
∵ab>c2,
∴-c2>-ab,
∵a2+b2≥2ab(当且仅当a=b是取等号),
∴cosC=
>
=
,即0<C<
,选项①正确;
②∵a+b>2c,
∴(a+b)2>4c2,即c2<
,
∴cosC=
,即0<C<
,选项②正确;
③假设C≥
,则c2≥a2+b2,
∴c3≥ca2+cb2>a3+b3,与a3+b3=c3矛盾,
∴假设不成立.即C<
成立,选项③正确.
④任取a=b=2,c=1,满足(a+b)c<2ab得C为锐角,选项④正确;
⑤由已知条件(a2+b2)c2<2a2b2,得:c2<
,
由余弦定理得:cosC=
>
=
,
∵C为三角形内角,
∴0<C<
,命题⑤错误.
则命题正确的是①②③④.
故答案为:①②③④
∴由余弦定理得cosC=
a2+b2−c2 |
2ab |
∵ab>c2,
∴-c2>-ab,
∵a2+b2≥2ab(当且仅当a=b是取等号),
∴cosC=
a2+b2−c2 |
2ab |
2ab−ab |
2ab |
1 |
2 |
π |
3 |
②∵a+b>2c,
∴(a+b)2>4c2,即c2<
(a+b)2 |
4 |
∴cosC=
a2+b2−c2 |
2ab |
π |
3 |
③假设C≥
π |
2 |
∴c3≥ca2+cb2>a3+b3,与a3+b3=c3矛盾,
∴假设不成立.即C<
π |
2 |
④任取a=b=2,c=1,满足(a+b)c<2ab得C为锐角,选项④正确;
⑤由已知条件(a2+b2)c2<2a2b2,得:c2<
2a2b2 |
a2+b2 |
由余弦定理得:cosC=
a2+b2−c2 |
2ab |
2ab−ab |
2ab |
1 |
2 |
∵C为三角形内角,
∴0<C<
π |
3 |
则命题正确的是①②③④.
故答案为:①②③④
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