△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c．①若ab＞c2，则C＜π3；②若a+b＞2c，则C＜π3；③若a3+b3=c3，则C＜π2；④若（a+b）c＜2ab，则C＜π2；⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＞π3．其中所有叙

Question

△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c．
①若ab＞c²，则C＜(π)/(3)；        ②若a+b＞2c，则C＜(π)/(3)；
③若a³+b³=c³，则C＜(π)/(2)；      ④若（a+b）c＜2ab，则C＜(π)/(2)；
⑤若（a²+b²）c²＜2a²b²，则C＞(π)/(3)．
其中所有叙述正确的命题的序号是______．

Answer 1

①∵a²+b²≥2ab，
∴由余弦定理得cosC=(a2+b2−c2)/(2ab)，
∵ab＞c²，
∴-c²＞-ab，
∵a²+b²≥2ab（当且仅当a=b是取等号），
∴cosC=(a2+b2−c2)/(2ab)＞(2ab−ab)/(2ab)=(1)/(2)，即0＜C＜(π)/(3)，选项①正确；
②∵a+b＞2c，
∴（a+b）²＞4c²，即c²＜((a+b)2)/(4)，
∴cosC=(a2+b2−c2)/(2ab)，即0＜C＜(π)/(3)，选项②正确；
③假设C≥(π)/(2)，则c²≥a²+b²，
∴c³≥ca²+cb²＞a³+b³，与a³+b³=c³矛盾，
∴假设不成立．即C＜(π)/(2)成立，选项③正确．
④任取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得C为锐角，选项④正确；
⑤由已知条件（a²+b²）c²＜2a²b²，得：c²＜(2a2b2)/(a2+b2)，
由余弦定理得：cosC=(a2+b2−c2)/(2ab)＞(2ab−ab)/(2ab)=(1)/(2)，
∵C为三角形内角，
∴0＜C＜(π)/(3)，命题⑤错误．
则命题正确的是①②③④．
故答案为：①②③④