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已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,在下列代数式中(1)a+b+c>0;(2)-4a<b<-2a(3)abc>0;(4)5a-b+2c<0;其中正确的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个
题目详情

- A. 1个
- B. 2个
- C. 3个
- D. 4个
▼优质解答
答案和解析
A
分析:
由抛物线开口向上得到a大于0,再由对称轴在y轴右侧得到a与b异号,即b小于0,由抛物线与y轴交于正半轴,得到c大于0,可得出abc的符合,对于(3)作出判断;由x=1时对应的函数值小于0,将x=1代入二次函数解析式得到a+b+c小于0,(1)错误;根据对称轴在1和2之间,利用对称轴公式列出不等式,由a大于0,得到-2a小于0,在不等式两边同时乘以-2a,不等号方向改变,可得出不等式,对(2)作出判断;由x=-1时对应的函数值大于0,将x=-1代入二次函数解析式得到a-b+c大于0,又4a大于0,c大于0,可得出a-b+c+4a+c大于0,合并后得到(4)正确,综上,即可得到正确的个数.
由图形可知:抛物线开口向上,与y轴交点在正半轴,∴a>0,b<0,c>0,即abc<0,故(3)错误;又x=1时,对应的函数值小于0,故将x=1代入得:a+b+c<0,故(1)错误;∵对称轴在1和2之间,∴1<-<2,又a>0,∴在不等式左右两边都乘以-2a得:-2a>b>-4a,故(2)正确;又x=-1时,对应的函数值大于0,故将x=1代入得:a-b+c>0,又a>0,即4a>0,c>0,∴5a-b+2c=(a-b+c)+4a+c>0,故(4)错误,综上,正确的有1个,为选项(2).故选A
点评:
此题考查了二次函数图象与系数的关系,利用了数形结合的思想,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),a的符号由抛物线的开口决定;b的符号由a及对称轴的位置确定;c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定,此外还有注意利用特殊点1,-1及2对应函数值的正负来解决问题.
分析:
由抛物线开口向上得到a大于0,再由对称轴在y轴右侧得到a与b异号,即b小于0,由抛物线与y轴交于正半轴,得到c大于0,可得出abc的符合,对于(3)作出判断;由x=1时对应的函数值小于0,将x=1代入二次函数解析式得到a+b+c小于0,(1)错误;根据对称轴在1和2之间,利用对称轴公式列出不等式,由a大于0,得到-2a小于0,在不等式两边同时乘以-2a,不等号方向改变,可得出不等式,对(2)作出判断;由x=-1时对应的函数值大于0,将x=-1代入二次函数解析式得到a-b+c大于0,又4a大于0,c大于0,可得出a-b+c+4a+c大于0,合并后得到(4)正确,综上,即可得到正确的个数.
由图形可知:抛物线开口向上,与y轴交点在正半轴,∴a>0,b<0,c>0,即abc<0,故(3)错误;又x=1时,对应的函数值小于0,故将x=1代入得:a+b+c<0,故(1)错误;∵对称轴在1和2之间,∴1<-<2,又a>0,∴在不等式左右两边都乘以-2a得:-2a>b>-4a,故(2)正确;又x=-1时,对应的函数值大于0,故将x=1代入得:a-b+c>0,又a>0,即4a>0,c>0,∴5a-b+2c=(a-b+c)+4a+c>0,故(4)错误,综上,正确的有1个,为选项(2).故选A
点评:
此题考查了二次函数图象与系数的关系,利用了数形结合的思想,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),a的符号由抛物线的开口决定;b的符号由a及对称轴的位置确定;c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定,此外还有注意利用特殊点1,-1及2对应函数值的正负来解决问题.
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