已知a,b,c满足a-b+c=7,ab+bc+b+c^2+16=0,求(a+b)^c的值

Question

已知a,b,c满足a-b+c=7,ab+bc+b+c^2+16=0,求(a+b)^c的值

Answer 1

第二个式子变形：
(a+c+1)b+c^2+16=0
因此(a+c+1)与b异号.
在第一个式子里凑一个a+c+1出来：
(a+c+1)-b=8
因为a+c+1与b异号,所以a+c+1是正的,b是负的,-b是正的.
回到第二个式子,考虑(a+c+1)b的最小值
由第一个式子,根据均值不等式(a+c+1)·(-b)≤(8/2)²=16,就得到(a+c+1)b≥-16
然后你就发现第二个式子当且仅当上式取等号时才可能成立(因为c²≥0).
所以a+c+1=-b=4,c=0
也就是a=3,b=-4,c=0
代入求值(a+b)^c=1