已知函数f（x）=x（2+a|x|），且关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若[-12，12]⊆A，则实数a的取值范围是．

Question

已知函数f（x）=x（2+a|x|），且关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若[-(1)/(2)，(1)/(2)]⊆A，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

当x≥0时，f（x）=ax²+2x=a（x+(1)/(a)）²-(1)/(a)，
当x＜0时，g（x）=-ax²+2x=-a（x-(1)/(a)）²+(1)/(a)，
当a=0时，A是空集，舍去，
当a＞0时，二次函数f（x）开口向上，对称轴x=-(1)/(a)，f（x）在x≥0上是增函数，A是空集，
二次函数g（x）开口向下，对称轴x=(1)/(a)，g（x）在x＜0上是增函数，A是空集，
当a＜0时，二次函数f（x）开口向下，在[0，-(1)/(a)]上是增函数，在（(1)/(a)，+∞）上是减函数，
二次函数g（x）开口向上，在（-∞，(1)/(a)]上是减函数，在（(1)/(a)，0）上是增函数，
∴a＜0时，A非空集，
对于任意的x属于[-(1)/(2)，(1)/(2)]，f（x+a）＜f（x）成立．
当x≤0时，g（x+a）＜g（x）=g（(2)/(a)-x）≤0，由g（x）区间单调性知，
x+a＜x且x+a＞(2)/(a)-x，解得，-1＜a＜0
当x＞0时，(1)/(2)＜-(1)/(a)，函数f（x）在单调增区间内满足f（x+a）＜f（x），
∴a的取值范围为，-1＜a＜0，
故答案为：（-1，0）．