已知顶点为A（1，5）的抛物线y=ax2+bx+c经过点B（5，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD的最小周长；（3）在（2）中，当四边形AB

Question

已知顶点为A（1，5）的抛物线y=ax²+bx+c经过点B（5，1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD的最小周长；
（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD．设点P（x，y）（x＞0）是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PQR．
①当△PQR与直线CD有公共点时，求x的取值范围；
②在①的条件下，记△PQR与△COD的公共部分的面积为S．求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．

Answer 1

（1）∵抛物线的顶点为A（1，5），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+5，
将点B（5，1）代入，得a（5-1）²+5=1，
解得a=-(1)/(4)，
∴y=-(1)/(4)x²+(1)/(2)x+(19)/(4)；

（2）可以过y，x轴分别做A，B的对称点A′，B′，然后连A′D，B′C，
显然A′（-1，5），B′（5，-1），连接A′B′分别交x轴、y轴于点C、D两点，
∵DA=DA′，CB=CB′，
∴此时四边形ABCD的周长最小，最小值就是A′B′+AB，
而A′B′=√((5+1)2+(1+5)2)=6√(2)，
AB=√((5−1)2+(1−5)2)=4√(2)，
∴A′B′+AB=10√(2)，
四边形ABCD的最小周长为10√(2)；

（3）①点B关于x轴的对称点B′（5，-1），点A关于y轴的对称点A′（-1，5），连接A′B′，与x轴，y轴交于C，D点，
∴CD的解析式为：y=-x+4，
联立

y＝−x+4

y＝x

，
得：

x＝2

y＝2

，
∵点P在y=x上，点Q是OP的中点，
∴要使等腰直角三角形与直线CD有公共点，则2≤x≤4．
故x的取值范围是：2≤x≤4．
②如图：

点E（2，2），当EP=EQ时，x-2=2-(1)/(2)x，得：x=(8)/(3)，
当2≤x≤(8)/(3)时，S=(1)/(2)PR•RQ-(1)/(2)EP²=(1)/(2)（x-(1)/(2)x）•（x-(1)/(2)x）-(1)/(2)•√(2)（x-2）•√(2)（x-2），
S=-(7)/(8)x²+4x-4，
当x=(16)/(7)时，S_最大=(4)/(7)．
当(8)/(3)≤x≤4时，S=(1)/(2)EQ²=(1)/(2)•√(2)（2-(1)/(2)x）•√(2)（2-(1)/(2)x），
S=(1)/(4)（x-4）²，
当x=(8)/(3)时，S_最大=(4)/(9)．
故S的最大值为：(4)/(7)．