如图，抛物线y=ax2+bx-3经过点A（2，-3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛

Question

如图，抛物线y=ax²+bx-3经过点A（2，-3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由y=ax²+bx-3得C（0．-3），
∴OC=3，
∵OC=3OB，
∴OB=1，
∴B（-1，0），
把A（2，-3），B（-1，0）代入y=ax²+bx-3得

4a+2b-3=-3

a-b-3=0

，
∴

a=1

b=-2

，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，
∵A（2，-3），C（0，-3），
∴AF∥x轴，
∴F（-1，-3），
∴BF=3，AF=3，
∴∠BAC=45°，
设D（0，m），则OD=|m|，
∵∠BDO=∠BAC，
∴∠BDO=45°，
∴OD=OB=1，
∴|m|=1，
∴m=±1，
∴D₁（0，1），D₂（0，-1）；
（3）设M（a，a²-2a-3），N（1，n），
①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，
则△ABF≌△NME，
∴NE=AF=3，ME=BF=3，
∴|a-1|=3，
∴a=3或a=-2，
∴M（4，5）或（-2，11）；
②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，
则N在x轴上，M与C重合，
∴M（0，-3），
综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（-2，11）或（0，-3）．