f（x，y）=(x2+y2)sin1x2+y20x2+y2≠0x2+y2=0在（0，0）点：（1）是否可微；（2）偏导数是否连续．

Question

f（x，y）=

(x2+y2)sin(1)/(x2+y2)

0

x2+y2≠0

x2+y2=0

在（0，0）点：
（1）是否可微；
（2）偏导数是否连续．

Answer 1

（1）由定义

f

′ x

(0，0)=

lim

△x→0

(f(△x，0)-f(0，0))/(△x)=

lim

△x→0

((△x)2sin(1)/((△x)2))/(△x)=0，

f

′ y

(0，0)=

lim

△y→0

(f(0，△y)-f(0，0))/(△y)=

lim

△y→0

((△y)2sin(1)/((△y)2))/(△x)=0，
∴df=

f

′ x

(0，0)△x+

f

′ y

(0，0)△y=0，
∴dz是△x与△y的线性函数；
设ρ=√(△x2+△y2)，则

△f=f(△x，△y)-f(0，0)=(△x2+△y2)sin(1)/(△x2+△y2)

=ρ2sin(1)/(ρ2)

∴

lim

ρ→0

(df-△f)/(ρ)=ρsin(1)/(ρ2)=0，
∴dz与△z之差比ρ为高阶无穷小；
即f（x，y）在（0，0）可微．
（2）由于∀（x，y）：x²+y²≠0，有

f

′ x

(x，y)=2xsin(1)/(x2+y2)-(2x)/(x2+y2)cos(1)/(x2+y2)
fy(x，y)=2ysin(1)/(x2+y2)-(2y)/(x2+y2)cos(1)/(x2+y2)
而

lim

(x，y)→(0，0)

(2x)/(x2+y2)cos(1)/(x2+y2)和

lim

(x，y)→(0，0)

(2y)/(x2+y2)cos(1)/(x2+y2)都不存在，
因此，

lim

(x，y)→(0，0)

fx(x，y)和

lim

(x，y)→(0，0)

fy(x，y)不存在
即一阶偏导数在（0，0）不连续
∴

f

′ x

(x，y)和

f

′ y

(x，y)在（0，0）也间断．
即偏导数不连续．