（2009•永嘉县二模）如图，Rt△ABC的两条直角边AC=3，BC=4，点P是边BC上的一动点（P不与B重合），以P为圆心作⊙P与BA相切于点M．设CP=x，⊙P的半径为y．（1）求证：△BPM∽△BAC；（2）求y与x的

Question

（2009•永嘉县二模）如图，Rt△ABC的两条直角边AC=3，BC=4，点P是边BC上的一动点（P不与B重合），以P为圆心作⊙P与BA相切于点M．设CP=x，⊙P的半径为y．
（1）求证：△BPM∽△BAC；
（2）求y与x的函数关系式，并确定当x在什么范围内取值时，⊙P与AC所在直线相离；
（3）当点P从点C向点B移动时，是否存在这样的⊙P，使得它与△ABC的外接圆相内切？若存在，求出x、y的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB切⊙P于点M，
∴∠PMB=∠C=90°．
又∵∠B=∠B，
∴△BPM∽△BAC．

（2）∵AC=3，BC=4，∠C=90°，
∴AB=5．
∵(BP)/(BA)＝(PM)/(AC)，
∴(4−x)/(5)＝(y)/(3)，
∴y＝−(3)/(5)x+(12)/(5)（0≤x＜4）．
当x＞y时，⊙P与AC所在的直线相离．
即x＞−(3)/(5)x+(12)/(5)，
得x＞(3)/(2)，
∴当(3)/(2)＜x＜4时，⊙P与AC所在的直线相离．

（3）设存在符合条件的⊙P．
得OP=2.5-y，而BM=(4)/(3)y，
∴OM=2.5−(4)/(3)y，
有(2.5−(4)/(3)y)2+y2＝(2.5−y)2，
得(16)/(9)y2−(5)/(3)y＝0
∴y₁=0（不合题意舍去），y₂=(15)/(16)．
∴y＝(15)/(16)时，x=(39)/(16)．