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(2009•永嘉县二模)如图,Rt△ABC的两条直角边AC=3,BC=4,点P是边BC上的一动点(P不与B重合),以P为圆心作⊙P与BA相切于点M.设CP=x,⊙P的半径为y.(1)求证:△BPM∽△BAC;(2)求y与x的
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(2009•永嘉县二模)如图,Rt△ABC的两条直角边AC=3,BC=4,点P是边BC上的一动点(P不与B重合),以P为圆心作⊙P与BA相切于点M.设CP=x,⊙P的半径为y.
(1)求证:△BPM∽△BAC;
(2)求y与x的函数关系式,并确定当x在什么范围内取值时,⊙P与AC所在直线相离;
(3)当点P从点C向点B移动时,是否存在这样的⊙P,使得它与△ABC的外接圆相内切?若存在,求出x、y的值;若不存在,请说明理由.

(1)求证:△BPM∽△BAC;
(2)求y与x的函数关系式,并确定当x在什么范围内取值时,⊙P与AC所在直线相离;
(3)当点P从点C向点B移动时,是否存在这样的⊙P,使得它与△ABC的外接圆相内切?若存在,求出x、y的值;若不存在,请说明理由.

▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵AB切⊙P于点M,
∴∠PMB=∠C=90°.
又∵∠B=∠B,
∴△BPM∽△BAC.
(2)∵AC=3,BC=4,∠C=90°,
∴AB=5.
∵
=
,
∴
=
,
∴y=−
x+
(0≤x<4).
当x>y时,⊙P与AC所在的直线相离.
即x>−
x+
,
得x>
,
∴当
<x<4时,⊙P与AC所在的直线相离.
(3)设存在符合条件的⊙P.
得OP=2.5-y,而BM=
y,
∴OM=2.5−
y,
有(2.5−
y)2+y2=(2.5−y)2,
得
y2−
y=0
∴y1=0(不合题意舍去),y2=
.
∴y=
时,x=
.

∴∠PMB=∠C=90°.
又∵∠B=∠B,
∴△BPM∽△BAC.
(2)∵AC=3,BC=4,∠C=90°,
∴AB=5.
∵
BP |
BA |
PM |
AC |
∴
4−x |
5 |
y |
3 |
∴y=−
3 |
5 |
12 |
5 |
当x>y时,⊙P与AC所在的直线相离.
即x>−
3 |
5 |
12 |
5 |
得x>
3 |
2 |
∴当
3 |
2 |
(3)设存在符合条件的⊙P.
得OP=2.5-y,而BM=
4 |
3 |
∴OM=2.5−
4 |
3 |
有(2.5−
4 |
3 |
得
16 |
9 |
5 |
3 |
∴y1=0(不合题意舍去),y2=
15 |
16 |
∴y=
15 |
16 |
39 |
16 |
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