如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB=3，AD=2，经过点C的直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点E、F．（1）求：①点D的坐标；②经过点D，且与直线FC平行的直线的函数表达式；（2

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB=3，AD=2，经过点C的直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点E、F．
（1）求：①点D的坐标；
②经过点D，且与直线FC平行的直线的函数表达式；
（2）直线y=x-2上是否存在点P，使得△PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

（1）①设点C的坐标为（m，2），
∵点C在直线y=x-2上，
∴2=m-2，
∴m=4，
即点C的坐标为（4，2），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=2，
∴点D的坐标为（1，2）；
②设经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+b，
将D（1，2）代入y=x+b，得b=1，
∴经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+1；

（2）存在．
∵△EBC为等腰直角三角形，
∴∠CEB=∠ECB=45°，
又∵DC∥AB，
∴∠DCE=∠CEB=45°，
∴△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，
如图，①当∠D=90°时，延长DA与直线y=x-2交于点P₁，
∵点D的坐标为（1，2），
∴点P₁的横坐标为1，
把x=1代入y=x-2得，y=-1，
∴点P₁（1，-1）；
②当∠DPC=90°时，作DC的垂直平分线与直线y=x-2的交点即为点P₂，
所以，点P₂的横坐标为(1+4)/(2)=(5)/(2)，
把x=(5)/(2)代入y=x-2得，y=(1)/(2)，
所以，点P₂（(5)/(2)，(1)/(2)），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（1，-1）或（(5)/(2)，(1)/(2)）；

（3）当y=0时，x-2=0，
解得x=2，
∴OE=2，
∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴若DE是对角线，则EM=CD=3，
∴OM=EM-OE=3-2=1，
此时，点M的坐标为（-1，0），
若CE是对角线，则EM=CD=3，
OM=OE+EM=2+3=5，
此时，点M的坐标为（5，0），
若CD是对角线，则平行四边形的中心坐标为（(5)/(2)，2），
设点M的坐标为（x，y），
则(x+2)/(2)=(5)/(2)，(y+0)/(2)=2，
解得x=3，y=4，
此时，点M的坐标为（3，4），
综上所述，点M的坐标为（-1，0），（5，0）（3，4）．