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证明二元函数f（x，y）=(x2+y2)sin1x2+y20(x，y)≠(0，0)(x，y)＝(0，0)在点（0，0）处的偏导数存在但不连续，并且在点（0，0）的任何领域内无界，但是在点（0，0）处可微．
题目详情
证明二元函数f（x，y）=
在点（0，0）处的偏导数存在但不连续，并且在点（0，0）的任何领域内无界，但是在点（0，0）处可微．
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▼优质解答
答案和解析
∵f′x(0，0)＝
=
＝
xsin
＝0
f′y(0，0)＝
=
=
ysin
＝0
∴当（x，y）≠（0，0）时，
fx(x，y)＝2xsin
−
cos
fy(x，y)＝2ysin
−
cos
由于
cos
和
cos
| lim |
| x→0 |
| f(x，0)−f(0，0) |
| x |
| lim |
| x→0 |
x2sin
| ||
| x |
| lim |
| x→0 |
| 1 |
| x2 |
f′y(0，0)＝
| lim |
| y→0 |
| f(0，y)−f(0，0) |
| y |
| lim |
| y→0 |
y2sin
| ||
| y |
| lim |
| y→0 |
| 1 |
| y2 |
∴当（x，y）≠（0，0）时，
fx(x，y)＝2xsin
| 1 |
| x2+y2 |
| 2x |
| x2+y2 |
| 1 |
| x2+y2 |
fy(x，y)＝2ysin
| 1 |
| x2+y2 |
| 2y |
| x2+y2 |
| 1 |
| x2+y2 |
由于
| lim |
| (x，y)→(0，0) |
| 2x |
| x2+y2 |
| 1 |
| x2+y2 |
| lim |
| (x，y)→(0，0) |
| 2y |
| x2+y2 |
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