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证明任何点集的内点全体是开集
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证明任何点集的内点全体是开集
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答案和解析
设X为一点集,Y为其内点集,P属于Y,证明P是Y的内点即可.
由于P是X的内点,所以存在P的开圆邻域U,使得U包含在X中,对于U中的任意一点Q,由于U是包含Q的开集,所以Q是X的内点,即Q属于Y,所以U包含在Y中.由于U是包含P的开集,且U包含在Y中,所以P是Y的内点.
由于P是X的内点,所以存在P的开圆邻域U,使得U包含在X中,对于U中的任意一点Q,由于U是包含Q的开集,所以Q是X的内点,即Q属于Y,所以U包含在Y中.由于U是包含P的开集,且U包含在Y中,所以P是Y的内点.
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