设f（x，y）=x2yx2+y2，x2+y2≠00，x2+y2＝0，讨论f（x，y）在原点处的连续性、偏导数存在性及可微性．

Question

设f（x，y）=

(x2y)/(x2+y2)，	x2+y2≠0
0，	x2+y2＝0

，讨论f（x，y）在原点处的连续性、偏导数存在性及可微性．

Answer 1

对∀ε＞0，取δ=2ε，当（x，y）属于（0，0）的δ邻域U（δ），即√(x2+y2)＜δ时，有
|f(x，y)−f(0，0)|＝(|x2y|)/(x2+y2)≤(|x|)/(2)≤(√(x2+y2))/(2)＜ε，
于是，f（x，y）在原点处连续；
由f′x(0，0)＝

lim

△x→0

(f(0+△x，0))/(△x)＝0及f′y(0，0)＝

lim

△y→0

(f(0，0+△y))/(△y)＝0，
知f（x，y）在原点处的两个偏导数存在；
记△f＝f(△x，△y)−f(0，0)＝(△x2△y)/(△x2+△y2)，
df=f′_x（0，0）•△x+f′_y（0，0）•△y=0，ρ＝√(△x2+△y2)．
当△y=△x时，因

lim

ρ→0

(△f−df)/(ρ)＝

lim

ρ→0

(△x2△y)/((△x2+△y2)3/2)＝

lim

△x→0

(△x3)/((2△x2)3/2)＝(1)/(2√(2))≠0，
知△f=f（△x，△y）-f（0，0）
不能写成f′_x（0，0）•△x+f′_y（0，0）•△y+o（ρ）的形式，
即f（x，y）在原点处不可微．