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在f(x)在[0,π]上连续,且满足∫π0min{x,y}f(y)dy=4f(x),求f(x).
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在f(x)在[0,π]上连续,且满足
min{x,y}f(y)dy=4f(x),求f(x).
∫ | π 0 |
▼优质解答
答案和解析
∵
min{x,y}f(y)dy=
yf(y)dy+x
f(y)dy=4f(x),
由上式知,f(x)在[0,π]上可导,
∴上式两边对x求导得
xf(x)−xf(x)+
f(y)dy=4f′(x)
即
f(y)dy=4f′(x)
∴f(x)在[0,π]上二阶可导
∴再对上式求导,得
-f(x)=4f″(x)
即:4f″(x)+f(x)=0
这是二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为:4r2+1=0
解得特征根为:r1,2=±
i
∴f(x)=C1cos
+C2sin
…①
又在
min{x,y}f(y)dy=
yf(y)dy+x
f(y)dy=4f(x)中,令x=0,得f(0)=0
代入①得,C1=0
∴f(x)=Csin
,其中C为任意常数.
∫ | π 0 |
∫ | x 0 |
∫ | π x |
由上式知,f(x)在[0,π]上可导,
∴上式两边对x求导得
xf(x)−xf(x)+
∫ | π x |
即
∫ | π x |
∴f(x)在[0,π]上二阶可导
∴再对上式求导,得
-f(x)=4f″(x)
即:4f″(x)+f(x)=0
这是二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为:4r2+1=0
解得特征根为:r1,2=±
1 |
2 |
∴f(x)=C1cos
x |
2 |
x |
2 |
又在
∫ | π 0 |
∫ | x 0 |
∫ | π x |
代入①得,C1=0
∴f(x)=Csin
x |
2 |
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