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设f（x）在x=0的某领域内二阶可导，且limx→0(sin3xx3+f(x)x2)＝0，求f（0），f′（0），f″（0）及limx→0f(x)+3x2．
题目详情
设f（x）在x=0的某领域内二阶可导，且
(
+
)＝0，求f（0），f′（0），f″（0）及
．
| lim |
| x→0 |
| sin3x |
| x3 |
| f(x) |
| x2 |
| lim |
| x→0 |
| f(x)+3 |
| x2 |
▼优质解答
答案和解析
因为：
(
+
)＝
＝
＝0，
所以：
(
+f(x))＝0．
又：f（x）在x=0的某领域内二阶可导，
所以：f（x），f′（x）在x=0连续，
从而：f（0）=-3．
由
＝0，
得：
＝0，
又易知：
＝
＝
=
＝
，
故：
＝
，
从而：f′(0)＝
＝
＝
x•
因为：
| lim |
| x→0 |
| sin3x |
| x3 |
| f(x) |
| x2 |
| lim |
| x→0 |
| sin3x+xf(x) |
| x3 |
| lim |
| x→0 |
| ||
| x2 |
所以：
| lim |
| x→0 |
| sin3x |
| x |
又：f（x）在x=0的某领域内二阶可导，
所以：f（x），f′（x）在x=0连续，
从而：f（0）=-3．
由
| lim |
| x→0 |
| ||
| x2 |
得：
| lim |
| x→0 |
| ||
| x2 |
又易知：
| lim |
| x→0 |
3−
| ||
| x2 |
| lim |
| x→0 |
| 3x−sin3x |
| x3 |
| lim |
| x→0 |
| 3−3cos3x |
| 3x2 |
| lim |
| x→0 |
| 3sin3x |
| 2x |
| 9 |
| 2 |
故：
| lim |
| x→0 |
| f(x)+3 |
| x2 |
| 9 |
| 2 |
从而：f′(0)＝
| lim |
| x→0 |
| f(x)−f(0) |
| x−0 |
| lim |
| x→0 |
| f(x)+3 |
| x |
| lim |
| x→0 |
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