已知函数f(x)=ke^x-x^2(其中k属于Re为自然对数的底数)(1)若K=-2,判断f(x)在区间(0,正无穷)上的单调性(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1小于x2),求K的取值范围,并证明0小于f(x)小于1

Question

已知函数f(x)=ke^x-x^2(其中k属于R e为自然对数的底数) (1)若K=-2,判断f
(x)在区间(0,正无穷)上的单调性
(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1小于x2),求K的取值范围,并证明0小于f(x)小于1

Answer 1

f'(x)=ke^x-2x
1)由於k0时,f'(x)恒小於0,单调递减
2)
k=2
f(x)=2e^x-x^2
f(0)=2
f'(x)=2e^x-2x
=2(e^x-x)
g(x)=e^x
h(x)=x
g'(x)=e^x
h'(x)=1
在x正半轴
g'(x)>=h'(x)
g(0)=1,h(0)=0
且g(0)>h(0)
故g(x)>h(x)
在x正半轴上
故e^x-x>0
f'(x)=2(e^x-x)>0
f'(x)在正半轴恒大於0,f(x)单调递增
f(0)=2
所以x>0时f(x)>2
3)
ke^x=2x时有极值
有两个极值
也就是说函数p(x)=ke^x和q(x)=2x有两个交点
先考虑k>0时
ke^x有一点斜率为2
且这点坐标为 x,2x时
p(x)=ke^x和q(x)=2x相切
p'(x)=ke^x=2
p(x)=ke^x=2x
此时x=1
ke=2
k=2/e
当p(x)函数值减小,那麼和q(x)=2x有两个交点
也就是k0
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又
k