设f（x）处处可导，则（）A．当limx→+∞f′（x）=+∞时，必有limx→+∞f（x）=+∞B．当limx→+∞f（x）=+∞时，必有limx→+∞f′（x）=+∞C．当limx→−∞f′（x）=-∞时，必有limx→−∞f（x）

Question

设f（x）处处可导，则（　　）

A．当

lim

x→+∞

f′（x）=+∞时，必有

lim

x→+∞

f（x）=+∞
B．当

lim

x→+∞

f（x）=+∞时，必有

lim

x→+∞

f′（x）=+∞
C．当

lim

x→−∞

f′（x）=-∞时，必有

lim

x→−∞

f（x）=-∞
D．当

lim

x→−∞

f（x）=-∞时，必有

lim

x→−∞

f′（x）=-∞

Answer 1

（1）对于选项B和D．
取f（x）=x，
则有：

lim

x→+∞

f(x)＝+∞，

lim

x→−∞

f(x)＝−∞．
但：

lim

x→+∞

f′(x)＝1，

lim

x→−∞

f′(x)＝1，
因而（B）和（D）不正确；
（2）对于选项C．
取f（x）=e^-x，
则：

lim

x→−∞

f′(x)＝

lim

x→−∞

(−e−x)＝−∞，
但：

lim

x→−∞

f(x)＝

lim

x→−∞

e−x＝+∞，
因而（C）也不正确；
（3）对于选项A．
由题设f（x）在（-∞，+∞）连续且可导，
由

lim

x→+∞

f′(x)＝+∞，知：
对于∀M＞0，存在x₀＞0，使得当x＞x₀时，f′（x）＞M，
因此，由微分中值定理，对∀x＞x₀，∃ξ∈（x₀，x），使得：
f（x）=f（x₀）+f′（ξ）（x-x₀）＞f（x₀）+M（x-x₀），
由此可得：

lim

x→+∞

f(x)＞

lim

x→+∞

[f(x0)+M(x−x0)]＝+∞，
即：

lim

x→+∞

f(x)＝+∞，
故选：A．