f(x)=x^2+|x-a|+1,x属于R,常数a为R,求f(x)最小值x=a再分别讨论a的取值情况,但这种题目不是应该先分a的取值情况,再讨论x>=a和x1/2时，若x=a,则最小为a^2+1,要求f(x)最小，不用把a+3/4和a^2+1进行比较么？

Question

f(x)=x^2+|x-a|+1,x属于R,常数a为R,求f(x)最小值
x=a再分别讨论a的取值情况,
但这种题目不是应该先分a的取值情况,再讨论x>=a和x1/2时，若x=a,则最小为a^2+1,要求f(x)最小，不用把a+3/4和a^2+1进行比较么？否则不是有两个最小了么？

Answer 1

第一步应该是先去掉绝对值
所以先分x=a讨论
xf(x)=x^2-x+a+1=(x-1/2)^2+a+3/4
若a>1/2
则x=1/2时,f(x)最小值=a+3/4
若a<=1/2
则f(x)>f(a)
因为f(a)不能取到
所以没有最小值
x>=a
f(x)=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2-a+3/4
若a<=-1/2
则x=-1/2时,f(x)最小值=-a+3/4
若a>-1/2
则x=a时,f(x)最小值=a^2+1