线性代数证明,三维行向量空间R^3中的向量集合V={(x,y,z)|x+y+z=0}是向量空间,并求出它的维数和一个基

Question

线性代数
证明,三维行向量空间R^3中的向量集合V={(x,y,z)|x+y+z=0}是向量空间,并求出它的维数和一个基

Answer 1

首先证明是向量空间：
1.证明对加法封闭：
设任意的a=（x1,y1,z1）属于V,任意的b=（x2,y2,z2）属于V.则有x1＋y1＋z1＝0,x2＋y2＋z2＝0.考察a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2),它肯定也属于V,因为x1+x2＋y1+y2＋z1+z2＝0
2.证明对数乘封闭：
设任意的a=（x1,y1,z1）属于V,则有x1＋y1＋z1＝0.考察k*a=(kx1,ky1,kz1),它肯定也属于V,因为kx1+ky1+kz1=k*(x1+y1+z1)=0
接下来求基和维数：
对于任意的a属于V,a可以表示为a=(x,y,-x-y)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)
所以维数是2,基是（1,0,－1）和（0,1,－1）