x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解个数,答案是分为三类“相等时只有一组有两个相等时有1003个,两两不等时有k个,于是1+1003x3+6k=2009×1004,问题是为什么要乘3和6喃,

Question

x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解个数,答案是分为三类“相等时只有一组
有两个相等时有1003个,两两不等时有k个,于是1+1003x3+6k=2009×1004,问题是为什么要乘3和6喃,

Answer 1

这个等式是将原题转化为求：
x+y+z=2010的正整数解的个数,把x≤y≤z的条件去掉.
等式右侧是直接求
将2010个球排成一排,中间插入两个隔板,分成三堆,从左到右依次为x、y、z.
由于x、y、z都大于0,所以一共有2009个位置可插,于是为C(2009,2)=2009×1004.
然后解释左边.
左边是通过满足x≤y≤z的解的个数（称：旧问题）,来求把x≤y≤z的条件去掉后的解的个数（称：新问题）.
旧问题中,若有3个相等,x=y=z=2010/3,那只对应新问题中的一个解.
旧问题中,若有2个相等,比如：x=y=1,z=2008,则对应新问题中的3个
x=1,y=1,z=2008
x=1,y=2008,z=1
x=2008,y=1,z=1
所以要乘以系数3.
旧问题中,若两两不等,比如：x=1,y=2,z=2007,则对应新问题中3!
x=1,y=2,z=2007
x=1,y=2007,z=2
x=2,y=1,z=2007
x=2,y=2007,z=1
x=2007,y=1,z=2
x=2007,y=2,z=1
所以要乘以系数6.
于是就是1+3×1003+6k=2009×1004