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设曲面∑是z=4−x2−y2的上侧,则∫∫xydydz+xdzdx+x2dxdy=4π4π.
题目详情
设曲面∑是z=
的上侧,则
xydydz+xdzdx+x2dxdy=4π4π.
4−x2−y2 |
∫∫ |
![]() |
▼优质解答
答案和解析
作辅助面∑1:z=0,取下侧,
设∑和∑1所围成的封闭区域为Ω,则Ω=(x,y,z)|0≤z≤
,x2+y2≤4
由高斯公式,得:
xydydz+xdzdx+x2dxdy=
xydydz+xdzdx+x2dxdy−
xydydz+xdzdx+x2dxdy
=
(
+
+
)dxdydz−
xydydz+xdzdx+x2dxdy
=
ydxdydz−
x2dxdy=I1-I2
而Ω是关于xoz面对称的,被积函数y是关于y的奇函数,故由三重积分的对称性性质知I1=0
又I2=
x2dxdy=−
dθ
r2cos2θ•rdr=−
dθ
r3dr=-4π
∴
xydydz+xdzdx+x2dxdy=4π
设∑和∑1所围成的封闭区域为Ω,则Ω=(x,y,z)|0≤z≤
4−x2−y2 |
由高斯公式,得:
∫∫ |
![]() |
∫∫ |
∑+∑1 |
∫∫ |
∑1 |
=
∭ |
Ω |
∂P |
∂x |
∂Q |
∂y |
∂R |
∂z |
∫∫ |
∑1 |
=
∭ |
Ω |
∫∫ |
x2+y2≤4 |
而Ω是关于xoz面对称的,被积函数y是关于y的奇函数,故由三重积分的对称性性质知I1=0
又I2=
∫∫ |
x2+y2≤4 |
∫ | 2π0 |
∫ | 20 |
∫ | 2π0 |
1+cos2θ |
2 |
∫ | 20 |
∴
∫∫ |
![]() |
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