求由方程2x2+2y2+z2+8yz-z+8=0所确定的隐函数z=z（x，y）的极值．

Question

求由方程2x²+2y²+z²+8yz-z+8=0所确定的隐函数z=z（x，y）的极值．

Answer 1

由题意，方程两边对x和对y求偏导，令

(∂z)/(∂x)＝(4x)/(1−2z−8y)＝0

(∂z)/(∂y)＝(4(y+2z))/(1−2z−8y)＝0

，
解得x=0与y+2z=0，
再代入2x²+2y²+z²+8yz-z+8=0，得到
7z²+z-8=0
即z＝1，−(8)/(7)．
由此可知隐函数z=z（x，y）的驻点为（0，-2）与(0，(16)/(7))． 
由(∂2z)/(∂x2)＝(4)/(1−2z−8y)，(∂2z)/(∂x∂y)＝0，(∂2z)/(∂y2)＝(4)/(1−2z−8y)，可知在驻点（0，-2）与(0，(16)/(7))有H=AC-B²＞0．
而在（0，-2）点，z=1，因此 (∂2z)/(∂x2)＝(4)/(15)＞0，所以（0，-2）为极小值点，极小值为z=1；
在(0，(16)/(7))点，z＝−(8)/(7)，因此 (∂2z)/(∂x2)＝−(4)/(15)＜0，所以(0，(16)/(7))为极大值点，极大值为z＝−(8)/(7)．