已知代数式M=x2+2y2+z2-2xy-8y+2z+17.2）若x,y,z满足不等式M+x2≤7,其中x,y,z都为非负整数,且x为偶数,直接写出x,y,z的值我想知道x=2,y=3,z=0具体是怎么得的

Question

已知代数式M=x2+2y2+z2-2xy-8y+2z+17.
2）若x,y,z满足不等式M+x2≤7,其中x,y,z都为非负整数,且x为偶数,直接写出x,y,z的值
我想知道x=2,y=3,z=0具体是怎么得的

Answer 1

M=x^2+2y^2+z^2-2xy-8y+2z+17
=x^2-2xy+y^2+y^2-8y+16+z^2+2z+1
=(x-y)^2+(y-4)^2+(z+1)^2
由上述公式可知,M≥0.
M+x^2≤7
x^2≤7-M
因M≥0,故0≤x^2≤7.
又因为x,y,z都为非负整数,故在0-7之中x只能有x只有三个可能的值,即0,1,2.而X为偶数,故x取 0,2两个值.
(1)当x=0时,
M=y^2+(y-4)^2+(z+1)^2
=2y^2-8y+16+(z+1)^2
此时因为1≤(z+1)^2≤7,则z=0或z=1.
当z=1时,M=2Y^2-8Y+20=2(Y-2)^2+12≥12,不满足M≤7的条件,
当z=0时,M=2Y^2-8Y+17=2(Y-2)^2+9≥9,不满足M≤7的条件,
所以x不能取x=0的值.
(2)x=2时,
M=(1-y)^2+(y-4)^+(z+1)^2≤3
此时z只能取值为0,故得出y=3.