若y=cos2x+2psinx+q有最大值9和最小值6，求实数p，q的值．

Question

若y=cos²x+2psinx+q有最大值9和最小值6，求实数p，q的值．

Answer 1

令sinx=t，t∈[-1，1]，
y=1-sin²x+2psinx+q
y=-（sinx-p）²+p²+q+1=-（t-p）²+p²+q+1
∴y=-（t-p）²+p²+q+1，对称轴为t=p
当p＜-1时，[-1，1]是函数y的递减区间，
y_max=y|_t=-1=（-1-p）²+p²+q+1=9，y_min=y|_t=1=（1-p）²+p²+q+1=6，
得p=(3)/(4)，q=(15)/(2)，与p＜-1矛盾；
当p＞1时，[-1，1]是函数y的递增区间，
y_max=y|_t=1=2p+q=9，y_min=y|_t=-1=-2p+q=6，
得p=(3)/(4)，q=(15)/(2)，与p＞1矛盾；
当-1≤p≤1时，y_max=y|_t=p=p²+q+1=9，
再当p≥0，y_min=y|_t=-1=-2p+q=6，得p=√(3)-1，q=4+2√(3)；
当p＜0，y_min=y|_t=1=2p+q=6，得p=-√(3)+1，q=4+2√(3)
∴p=±(√(3)-1)，q=4+2√(3)．