设二维随机变量（X，Y）有密度函数：f（x，y）=x2+13xy，0≤x≤1，0≤y≤20，其他（1）求边缘概率密度fX（x），fY（y）；（2）求条件密度fX|Y（x|y）；（3）求概率P{X＞Y}．

Question

设二维随机变量（X，Y）有密度函数：f（x，y）=

x2+(1)/(3)xy，0≤x≤1，0≤y≤2

0，其他

（1）求边缘概率密度f_X（x），f_Y（y）；
（2）求条件密度f_X|Y（x|y）；
（3）求概率P{X＞Y}．

Answer 1

（1）由边缘概率密度公式，得
fX(x)＝

∫

+∞ −∞

f(x，y)dy=

∫

2 0

(x2+(1)/(3)xy)dy=2x2+(2)/(3)x，
fY(y)＝

∫

+∞ −∞

f(x，y)dx=

∫

1 0

(x2+(1)/(3)xy)dx＝(1)/(3)+(1)/(6)y
（2）由条件概率密度公式，得fX|Y(x|y)＝(f(x，y))/(fY(y))=(12x2+4x)/(2+y)
（3）P{X＞Y}=

∫

1 0

dx

∫

x 0

f(x，y)dy=

∫

1 0

dx

∫

x 0

(x2+(1)/(3)xy)dy=

∫

1 0

(x3+(1)/(6)x3)dx=(7)/(24)