如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=DC，AB=6，AD=8，点P、Q分别为BC、AD上的动点，连接PQ，与BD相交于点O，（1）当∠1=∠2时，求证：∠DOQ=∠DPC；（2）在（1）的条件下，求证：DQ•PC=BD

Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=DC，AB=6，AD=8，点P、Q分别为BC、AD上的动点，连接PQ，与BD相交于点O，

（1）当∠1=∠2时，求证：∠DOQ=∠DPC；
（2）在（1）的条件下，求证：DQ•PC=BD•DO；
（3）如果点P由点B向点C移动，每秒移动2个单位，同时点Q由点D向点A移动，每秒移动1个单位，设移动的时间为t秒，是否存在某以时刻，使得△BOP为直角三角形？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠PDO=∠BDP，∠1=∠2，
∴△DOP∽△DPB，
∴∠DOP=∠DPB，
∵∠DOQ+∠DOP=∠DPC+∠DPB，
∴∠DOQ=∠DPC；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠1，
∵BD=DC，
∴∠1=∠C，
∴∠ADO=∠C，
又∵∠DOQ=∠DPC，
∴△DOQ∽△CPD，
∴(DQ)/(CD)=(DO)/(PC)，
∵BD=DC，
∴(DQ)/(BD)=(DO)/(PC)，
∴DQ•PC=BD•DO；
（3）存在，
①如图1，当∠BPO=90°时，
∵BP=2t，DQ=t，
∴AQ=8-t
∵此时AQ=BP
∴8-t=2t
∴t=(8)/(3)；
②如图2，当∠POB=90°时，
∵△DOQ∽△BOP
∴(DO)/(BO)=(DQ)/(BP)=(t)/(2t)=(1)/(2)
∵AB=6，AD=8，
∴BD=10，
∴DO=(10)/(3)
∵△DOQ∽△DBA，
∴(DO)/(DA)=(DQ)/(DB)，
∴((10)/(3))/(8)=(t)/(10)，
∴t=(25)/(6)．
综上所述，当t=(8)/(3)秒或t=(25)/(6)秒时，
△BOP为直角三角形．