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如图所示,在△ABC中,AB=AC,任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ,求证:△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆.
题目详情
如图所示,在△ABC中,AB=AC,任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ,
求证:△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆.

求证:△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆.

▼优质解答
答案和解析
证明:作△ABC的外接圆⊙O,并作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OP、OQ、OB、OA,
∵O是△ABC的外心,
∴OE=OF,OB=OA,
由勾股定理得:BE2=OB2-OE2,AF2=OA2-OF2,
∴BE=AF,
∵AP=BQ,
∴PF=QE,
∵OE⊥AB,OF⊥AC
∴∠OFP=∠OEQ=90°,
∴Rt△OPF≌Rt△OQE,
∴∠P=∠Q,
∴O、A、P、Q四点共圆.
即:△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆.

∵O是△ABC的外心,
∴OE=OF,OB=OA,
由勾股定理得:BE2=OB2-OE2,AF2=OA2-OF2,
∴BE=AF,
∵AP=BQ,
∴PF=QE,
∵OE⊥AB,OF⊥AC
∴∠OFP=∠OEQ=90°,
∴Rt△OPF≌Rt△OQE,
∴∠P=∠Q,
∴O、A、P、Q四点共圆.
即:△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆.
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