已知以向量v＝(1，12)为方向向量的直线l过点(0，54)，抛物线C：y2=2px（p＞0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A

Question

已知以向量

v

＝(1，(1)/(2))为方向向量的直线l过点(0，(5)/(4))，抛物线C：y²=2px（p＞0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若

OA

•

OB

+p2＝0（O为原点，A、B异于原点），试求点N的轨迹方程．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得直线l：y＝(1)/(2)x+(5)/(4)     ①
过原点垂直于l的直线方程为 y=-2x    ②
解①②得x＝−(1)/(2)，即两直线的交点的横坐标为x＝−(1)/(2)．
∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
∴−(p)/(2)＝−(1)/(2)×2，p=2
∴抛物线C的方程为y²=4x．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x，y），
由

OA

•

OB

+p2＝0，得x₁x₂+y₁y₂+4=0．
又y12＝4x1，y22＝4x2．
代入上式(y21y22)/(16)+y₁y₂+4=0．
解得y₁y₂=-8     
又直线ON：y＝(y2)/(x2)x，即y＝(4)/(y2)x      
∵y=y₁，∴y₁y₂=4x
∵y₁y₂=-8 
∴x=-2（y≠0）．
∴点N的轨迹方程为x=-2（y≠0）．