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如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=a(x-1)(x-5)与x轴交于B、C两点,与y轴交于点A(0,4),抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.(1)则a=;该抛物线的对称轴为;(2)连接AC
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如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=a(x-1)(x-5)与x轴交于B、C两点,与y轴交于点A(0,4),抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.

(1)则a=___;该抛物线的对称轴为___;
(2)连接AC,在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积为14?若存在,请你求出点N的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设P(m,n)是抛物线上的一点(m、n为正整数),且它位于对称轴的右侧.若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度是四个连续的正整数,求点P的坐标.

(1)则a=___;该抛物线的对称轴为___;
(2)连接AC,在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积为14?若存在,请你求出点N的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设P(m,n)是抛物线上的一点(m、n为正整数),且它位于对称轴的右侧.若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度是四个连续的正整数,求点P的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)把x=0,y=4代入y=a(x-1)(x-5),
可得a×(-1)×(-5)=4,
解得a=
;
∵B、C两点的坐标分别是(1,0)、(5,0),
∴该抛物线的对称轴为x=(5+1)÷2=3,
即该抛物线的对称轴为x=3.
(2)如图1,过点N作NG∥y轴交AC于G,
,
抛物线y=
(x-1)(x-5)=
x2-
x+4,
由点A(0,4)和点C(5,0),可得直线AC的解析式为:y=-
x+4,
设N点的横坐标是t,则此时点N(t,
t2-
t+4)(0<t<5),
把x=t代入y=-
x+4,
可得G(t,-
t+4),
此时NG=-
t+4-(
t2-
t+4)=-
t2+4t,
∴S△NAC=S△ANG+S△CGN=
×5×(-
t2+4t)=-2t2+10t=-2(t-
)2+
,
∴当t=
时,△NAC面积的最大值为:
<14,
∴在直线AC下方的抛物线上不存在一点N,使△NAC的面积为14.
(3)如图2,
,
以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边:AO=4,OM=3,
又∵点P的坐标中x>5,
∴MP>2,AP>2,
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意,
∴四条边的长只能是3、4、5、6一种情况.
在Rt△AOM中,AM=
=5,
∵抛物线的对称轴过点M,
∴在抛物线x>5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,
即PM=5,此时点P横坐标为6,即AP=6,
∴以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长是3、4、5、6成立,
即P(6,4).
故答案为:
、x=3.
可得a×(-1)×(-5)=4,
解得a=
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∵B、C两点的坐标分别是(1,0)、(5,0),
∴该抛物线的对称轴为x=(5+1)÷2=3,
即该抛物线的对称轴为x=3.
(2)如图1,过点N作NG∥y轴交AC于G,
,抛物线y=
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由点A(0,4)和点C(5,0),可得直线AC的解析式为:y=-
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设N点的横坐标是t,则此时点N(t,
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把x=t代入y=-
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可得G(t,-
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此时NG=-
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∴S△NAC=S△ANG+S△CGN=
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∴当t=
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∴在直线AC下方的抛物线上不存在一点N,使△NAC的面积为14.
(3)如图2,
,以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边:AO=4,OM=3,
又∵点P的坐标中x>5,
∴MP>2,AP>2,
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意,
∴四条边的长只能是3、4、5、6一种情况.
在Rt△AOM中,AM=
| OA2+OM2 |
∵抛物线的对称轴过点M,
∴在抛物线x>5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,
即PM=5,此时点P横坐标为6,即AP=6,
∴以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长是3、4、5、6成立,
即P(6,4).
故答案为:
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