已知方程（x-1)（x-2)=k^,k为实数,且k不等于0,不解方程证明：一个根大于1,一个根小于1

Question

已知方程（x-1)（x-2)=k^,k为实数,且k不等于0,不解方程证明：一个根大于1,一个根小于1

Answer 1

（x-1)（x-2)=k^2
x^2-3x+2-k^2=0
△=(-3)^2-4(2-k^2)=4k^2+1 恒大于0
∴方程有两个不相等的实数根.
设方程根为x1,x2,根据韦达定理得
x1+x2=3
x1x2=2-k^2
(x1-1)(x2-1)
=x1x2-(x1+x2)+1
=2-k^2-3+1
=-k^2
∵k不等于0
∴-k^2<0
∴(x1-1)(x2-1)<0
∴方程的一个根大于1,一个根小于1