已知等差数列{an}的公差d≠0,an≠0,设方程arx^2 +2ar+1 +ar+2=0（r∈N+）是关于x的一元二次方程.（1）证明这些方程必有公共根.（2）对于不同的r,设这些方程的另一个根为mr,证明数列{1/（mr+1）}也是

Question

已知等差数列{an}的公差d≠0,an≠0,设方程arx^2 +2ar+1 +ar+2=0（r∈N+）是关于x的一元二次方程.
（1）证明这些方程必有公共根.
（2）对于不同的r,设这些方程的另一个根为mr,证明数列{1/（mr+1）}也是等差数列.
注：上述题目中的r和n均为下标,r+1和r+2均为下标.

Answer 1

方程里漏了个x吧
1)a[r]=a[r+1]-d
a[r+2]=a[r-1]+d
代入方程
（a[r+1]-d）x^2+a[r+1]x+a[r-1]+d=0
(x+1)[(a[r+1]-d)x+a[r+1]+d]=0
两个根：
-1、-（a〔r+1]+d）/（a〔r+1]-d）
所以必有公共根-1
2)1/(m[r]+1)=1/2-a[r+1]/2d
1/(m[r+1]+1)=1/2-a[r+2]/2d
1/(m[r+1]+1)=1/(m[r]+1)=-(a[r+2]-a[r+1])/2d
=-1/2
所以数列{1/（mr+1）}是公差为-1/2的等差数列