设函数f（x）在[a，A]连续，证明∀x∈[a，A]，有limh→01h∫xa[f（t+h）-f（t）]dt=f（x）-f（a）．

Question

设函数f（x）在[a，A]连续，证明∀x∈[a，A]，有

lim

h→0

(1)/(h)

∫

x a

[f（t+h）-f（t）]dt=f（x）-f（a）．

Answer 1

证明：令u=t+h，则

∫

x a

f(t+h)dt=

∫

x+h a+h

f(u)du．
又因为定积分的值与积分变量无关，
所以

∫

x a

f(t+h)dt=

∫

x+h a+h

f(t)dt．
于是，

lim

h→0

(1)/(h)

∫

x a

[f(t+h)-f(t)]dt=

lim

h→0

(∫x+ha+hf(t)dt-∫xaf(t)dt)/(h)
(洛必达法则.)/()

lim

h→0

[f(x+h)-f(a+h)]
=f（x）-f（a）．