已知二次函数f(x),若a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))),成等比数列,证明f(a)=a请用反证法

Question

已知二次函数f(x),若a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))),成等比数列,证明f(a)=a
请用反证法

Answer 1

你说的反证法是这样的吗?因为f(x)为二次函数,可设,f(x)=Ax^2+Bx+C,A不为0,
设等比数列公比为k,
所以f(a)=A*a^2+B*a+C=ka
f(f(a))=f(ka)=A*(ka)^2+B*(ka)+C=k^2*a
f(f(f(a)))=f(k^2*a)=A*(k^2 a)^2+B*(k^2 a)+C
分析系数,f(f(a))-f(a)*k=0=A*k^2*a^2+C- A*a^2*k-C*k,所以有A*k^2*a^2+C=A*a^2*k+C*k i式
f(f(f(a)))-f(f(a))*k=0=A*(k^2 a)^2+C-A*(ka)^2*k-C*k,所以A*k^4*a^2+C=A*a^2*k^3+C*k ii式
由i,ii式可得,A*k^2*a^2-A*k^4*a^2=A*a^2*k-A*a^2*k^3,
所以A*a^2*k^2*(1-k^2)=A*a^2*k^2*(1-k) iii式
（A不为零,所以或者a=0,此时必有f(a)=k*a=k*0=0=a；
或者,(1-k^2)=(1-k),即k^2=k,k为公比,不应为0,所以只能是k=1,
所以f(a)=k*a=1*a=a.）
反证语言：
如果k不为1,又因为k不应为0(k为公比),(1-k^2)≠(1-k),所以iii式,只能有为A*a^2*=A*a^2=0,
而A=0,显然与f(x)为二次函数矛盾；a=0的话,f(a)=k*a,k可为任意数,此与a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))),成等比数列矛盾,此时不存在一个唯一公比k,
所以只能为k=1,所以f(a)=a