设f（x）是[1，+∞）上的单调递减非负函数，an=nk=1f(k)-∫n1f(x)dx，（n=1，2，…）．求证：{an}极限存在．

Question

设f（x）是[1，+∞）上的单调递减非负函数，a_n=

n

k=1

f(k)-

∫

n 1

f(x)dx，（n=1，2，…）．求证：{a_n}极限存在．

Answer 1

证明：利用单调有界的数列必收敛这一定理证明
首先，证明数列{a_n}是单调的
因为：an=

n

k=1

f(k)-

∫

n 1

f(x)dx（n=1，2，…），
故
an+1-an=f(n+1)-

∫

n+1 n

f(x)dx=f（n+1）-f（ξ）[（n+1）-n]=f（n+1）-f（ξ），其中ξ∈（n，n+1）
而f（x）是区间[0，+∞）上单调减少且非负的连续函数，因而
f（n+1）∴a_n+1-a_n<0
∴数列{a_n}是单调递减的．
其次，证明数列{a_n}是有界的，这里由于数列{a_n}是单调递减的，因此只需要证明有下界就行
由an=

n

k=1

f(k)-

∫

n 1

f(x)dx得：
an=

n

k=1

f(k)-[

∫

2 1

f(x)dx+

∫

3 2

f(x)dx+…+

∫

n n-1

f(x)dx
=

n

k=1

f(k)-

n-1

k=1

∫

k+1 k

f(x)dx
=

n-1

k=1

f(k)-

n-1

k=1

∫

k+1 k

f(x)dx+f(n)
=

n-1

k=1

∫

k+1 k

[f(k)-f(x)]dx+f(n)
又f（x）是区间[0，+∞）上单调减少且非负
∴f（k）-f（x）>0，x∈（k，k+1），f（n）≥0
∴a_n=

n-1

k=1

∫

k+1 k

[f(k)-f(x)]dx+f(n)>0
∴数列{a_n}是有下界
因此数列{a_n}是单调递减有下界的
数列{a_n}的极限存在