高一数学题已知函数f(x)=(nx+1)/(2x+m)(m,n为常数,mn≠2),若f(x)f(1/x)=k(1)求k的值（2）已知f[f(1)]=k/2,求f(x)的解析式

Question

高一数学题
已知函数f(x)=(nx+1)/(2x+m) (m,n为常数,mn≠2),若f(x)f(1/x)=k
(1)求k的值
（2）已知f[f(1)]=k/2,求f(x)的解析式

Answer 1

根据f(x)=(nx+1)/(2x+m)得到
f(1/x)=(x+n)/(mx+2),所以
f(x)*f(1/x)=(nx+1)/(2x+m)×(x+n)/(mx+2)
=[nx²+(n²+1)x+n]/[2mx²+(m²+4)x+2m],
求k值,k为常数,当m=n=0时,k=1/4
当mn≠0时,说明n:2m=(n²+1):(m²+4),
即nm(m-2n)=2(m-2n),又m*n不等于2
所以m=2n,即k=n/(2m)=1/4
答：k=1/4
若m=n=0,f(x)=1/2x,f[f(1)]=1≠k/2,排除
当m=2n,f（1）=（n+1）/(2+2n)=1/2
f[f(1)]=f(1/2)=(n/2+1)/(1+2n)=k/2=1/8
解得n=-7/2
所以f（x）=(-7x/2+1)/(2x-7)=(2-7x)/(4x-14)