设函数f(x)在定义域R上是增函数,且f(xy)=f(x)=f(y).1.求证：f(x/y)=f(x)-f(y)2.若f(3)=1,且f(a)〉f(a-1)+2,求a的取值范围

Question

设函数f(x)在定义域R上是增函数,且f(xy)=f(x)=f(y).
1.求证：f(x/y)=f(x)-f(y)
2.若f(3)=1,且f(a)〉f(a-1)+2,求a的取值范围

Answer 1

因为f(xy)=f(x)+f(y)...（1）
令x=y,y=x/y;
代入（1）；
则
f(y*x/y)=f(y)+f(x/y)
即：
f(x)=f(y)+f(x/y)
所以
f(x/y)=f(x)-f(y);
f(a)>f(a-1)+2
f(a)-f(a-1)>2f(3)
f(a/(a-1))-f(3)>f(3)
f(a/3(a-1))>f(3)
因为是增函数,所以：a/3(a-1)>3
a/(a-1)>9
a/(a-1)-9>0
(a-9a+9)/(a-1)>0
(9-8a)/(a-1)>0
a>9/8或者a