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设f′（x）连续，F（x）=∫x0f（t）f′（2a-t）dt，证明：F（2a）-2F（a）=f2（a）-f（0）f（2a）．
题目详情
设f′（x）连续，F（x）=
f（t）f′（2a-t）dt，证明：F（2a）-2F（a）=f2（a）-f（0）f（2a）．
| ∫ | x 0 |
▼优质解答
答案和解析
证明：∵F(x)＝
f(t)f′(2a−t)dt＝−
f(t)df(2a−t)
=−f(t)f(2a−t)
+
f′(t)f(2a−t)dt
=f(0)f(2a)−f(x)f(2a−x)+
f′(t)f(2a−t)dt
对于积分
f′(t)f(2a−t)dt，令u=2a-t，则du=-dt，且t=0时，u=2a；t=x时，u=2a-x
∴
f′(t)f(2a−t)dt=−
f′(2a−u)f(u)du=−
f(u)f′(2a−u)du−
f(u)f′(2a−u)du=F（2a）-F（2a-x）
∴F（x）=f（0）f（2a）-f（x）f（2a-x）+F（2a）-F（2a-x）
令x=a，则F（a）=f（0）f（2a）-f（a）f（a）+F（2a）-F（a）
即F（2a）-2F（a）=f2（a）-f（0）f（2a）．
得证．
| ∫ | x 0 |
| ∫ | x 0 |
=−f(t)f(2a−t)
| | | x 0 |
| ∫ | x 0 |
=f(0)f(2a)−f(x)f(2a−x)+
| ∫ | x 0 |
对于积分
| ∫ | x 0 |
∴
| ∫ | x 0 |
| ∫ | 2a−x 2a |
| ∫ | 0 2a |
| ∫ | 2a−x 0 |
∴F（x）=f（0）f（2a）-f（x）f（2a-x）+F（2a）-F（2a-x）
令x=a，则F（a）=f（0）f（2a）-f（a）f（a）+F（2a）-F（a）
即F（2a）-2F（a）=f2（a）-f（0）f（2a）．
得证．
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