设f是在实数范围内的函数,且有f(x+T)=kf(x),其中T和k是正数,证明对任意实数x有f(x)=a^x*g(x)其中a为常数,g(x)是周期为T的函数

Question

设f是在实数范围内的函数,且有f(x+T)=kf(x),
其中T和k是正数,证明对任意实数x有
f(x)=a^x*g(x)
其中a为常数,g(x)是周期为T的函数

Answer 1

设a=k^(1/T),k=a^T,g(x)=f(x)/(a^x),则由f(x+T)=kf(x)得,
g(x+T)=f(x+T)/(a^x)=kf(x)/(a^(x+T))=f(x)/(a^x)=g(x),故g(x)是周期为T的函数,再由g(x)=f(x)/(a^x)得,f(x)=a^x*g(x).