（2014•万州区模拟）质量均为M的A、B两个物体由一劲度系数为k的轻弹簧相连，竖直静置于水平地面上，现有两种方案分别都可以使物体A在被碰撞后的运动过程中，物体B恰好能脱离水平地面

Question

（2014•万州区模拟）质量均为M的A、B两个物体由一劲度系数为k的轻弹簧相连，竖直静置于水平地面上，现有两种方案分别都可以使物体A在被碰撞后的运动过程中，物体B恰好能脱离水平地面，这两种方案中相同的是让一个物块从A正上方距A相同高度h处由静止开始自由下落，不同的是不同物块C、D与A发生碰撞种类不同．如图所示，方案一是：质量为m的物块C与A碰撞后粘合在一起；方案二是：物体D与A发生弹性碰撞后迅速将D取走，已知量为M，m，k后，重力加速度g．弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，求：
（1）h大小；
（2）A、B系统因碰撞损失的机械能；
（3）物块D的质量m_D大小．

Answer 1

（1）A静止，由平衡条件得：mg=kx₁，
设物体C自由落下h时速度为v₀，由机械能守恒定律得：mgh=(1)/(2)mv₀²，
设物体C与A碰撞并粘合在一起竖直向下运动速度大小为v，以A、C组成的系统为研究对象，以C的速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mv₀=（m+m）v，
B恰好能脱离水平面时，C、A向上运动速度为零，对B，由平衡条件得：mg=kx₂，
说明在物体C与A碰撞并粘合在一起运动至最高处过程中C、A、弹簧系统机械能守恒，且初、末弹性势能相同，由机械能守恒定律得：
(1)/(2)（m+m）v²=mg（x₁+x₂），
解得：h=(4mg)/(k)；
（2）由能量守恒定律得，损失的机械能：
△E=(1)/(2)mv₀²-(1)/(2)（m+m）v²，
解得：△E=(2m2g2)/(k)；
（3）A静止，由平衡条件得：mg=kx₁，
设物体D自由落下h时速度为v_D，由机械能守恒定律得：m_Dgh=(1)/(2)m_Dv_D²，
以A、D组成的系统为研究对象，以D的速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：m_Dv_D=m_Dv_D′+mv_A，
碰撞过程，由机械能守恒定律得：
(1)/(2)m_Dv_D²=(1)/(2)m_Dv_D′²+(1)/(2)mv_A²，
解得：v_A=(2mDvD)/(m+mD)，v_D′=((mD−m)vD)/(m+mD)，
B恰好能脱离水平面时，由平衡条件得：mg=kx₂，
说明在物体D与A碰撞，A运动到最高处过程，D、A、弹簧系统机械能守恒，
且初、末弹性势能相同，由机械能守恒定律得：(1)/(2)m_Dv_D′²+(1)/(2)mv_A²=(1)/(2)m_Dv_D′²+mg（x₁+x₂），
由（1）知：h=(4mg)/(k)；
解得：m_D=(m)/(2√(2)−1)；
答：（1）h大小为(4mg)/(k)；
（2）A、B系统因碰撞损失的机械能为(2m2g2)/(k)；
（3）物块D的质量m_D大小为(m)/(2√(2)−1)．