如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC

Question

如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知
∠EAT=30°，AE=3 ，MN=2 ．
（1）求∠COB的度数；
（2）求⊙O的半径R；
（3）点F在⊙O上（ 是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．

Answer 1

（1）∵AE切⊙O于点E， ∴AE⊥CE，又OB⊥AT， ∴∠AEC=∠CBO=90°， 又∠BCO=∠ACE， ∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°， ∴∠COB=∠A=30°； （2）∵AE=3 ，∠A=30°， ∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°= ，即EC=AEtan30°=3， ∵OB⊥MN， ∴B为MN的中点，又MN=2 ， ∴MB= MN= ， 连接OM，在△MOB中，OM=R，MB= ， ∴OB= = ， 在△COB中，∠BOC=30°， ∵cos∠BOC=cos30°= = ， ∴BO= OC， ∴OC= OB= ， 又OC+EC=OM=R， ∴R= +3， 整理得：R 2 +18R﹣115=0， 即（R+23）（R﹣5）=0， 解得：R=﹣23（舍去）或R=5， 则R=5； （3）在EF同一侧，△COB经过平移、旋转和相似变换后， 这样的三角形有6个， 如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如右图所示： 延长EO交圆O于点D，连接DF， 如图所示， ∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°， ∴FD=5 ， 则C △EFD =5+10+5 =15+5 ， 由（2）可得C △COB =3+ ， ∴C △EFD ：C △COB =（15+5 ）：（3+ ）=5：1．