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如图,AE切⊙O于点E,AT交⊙O于点M,N,线段OE交AT于点C,OB⊥AT于点B,已知∠EAT=30°,AE=3,MN=2.(1)求∠COB的度数;(2)求⊙O的半径R;(3)点F在⊙O上(是劣弧),且EF=5,把△OBC
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如图,AE切⊙O于点E,AT交⊙O于点M,N,线段OE交AT于点C,OB⊥AT于点B,已知 ∠EAT=30°,AE=3 ![]() ![]() (1)求∠COB的度数; (2)求⊙O的半径R; (3)点F在⊙O上( ![]() |
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答案和解析
(1)∵AE切⊙O于点E, ∴AE⊥CE,又OB⊥AT, ∴∠AEC=∠CBO=90°, 又∠BCO=∠ACE, ∴△AEC∽△OBC,又∠A=30°, ∴∠COB=∠A=30°; (2)∵AE=3 ![]() ∴在Rt△AEC中,tanA=tan30°= ![]() ∵OB⊥MN, ∴B为MN的中点,又MN=2 ![]() ∴MB= ![]() ![]() 连接OM,在△MOB中,OM=R,MB= ![]() ∴OB= ![]() ![]() 在△COB中,∠BOC=30°, ∵cos∠BOC=cos30°= ![]() ![]() ∴BO= ![]() ∴OC= ![]() ![]() ![]() 又OC+EC=OM=R, ∴R= ![]() ![]() 整理得:R 2 +18R﹣115=0, 即(R+23)(R﹣5)=0, 解得:R=﹣23(舍去)或R=5, 则R=5; (3)在EF同一侧,△COB经过平移、旋转和相似变换后, 这样的三角形有6个, 如图,每小图2个,顶点在圆上的三角形,如右图所示: 延长EO交圆O于点D,连接DF, 如图所示, ∵EF=5,直径ED=10,可得出∠FDE=30°, ∴FD=5 ![]() 则C △EFD =5+10+5 ![]() ![]() 由(2)可得C △COB =3+ ![]() ∴C △EFD :C △COB =(15+5 ![]() ![]() |
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