关于x的不等式（sinx+1）|sinx-m|+12≥m对x∈[0，π2]恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，12]∪[32，+∞）（-∞，12]∪[32，+∞）．

Question

关于x的不等式（sinx+1）|sinx-m|+(1)/(2)≥m对x∈[0，(π)/(2)]恒成立，则实数m的取值范围是

（-∞，(1)/(2)]∪[(3)/(2)，+∞）

（-∞，(1)/(2)]∪[(3)/(2)，+∞）

．

Answer 1

∵x∈[0，(π)/(2)]，
∴sinx∈[0，1]，
当m＞1时，原不等式可化为：（sinx+1）（m-sinx）+(1)/(2)≥m，
整理得：msinx-sin²x-sinx+(1)/(2)≥0恒成立；
令sinx=t（0≤t≤1），
g（t）=-t²+（m-1）t+(1)/(2)，
要使g（t）=-t²+（m-1）t+(1)/(2)≥0（0≤t≤1）恒成立，
必须

g(0)≥0

g(1)≥0

，即

(1)/(2)≥0

−2+m+(1)/(2)≥0

，
解得m≥(3)/(2)；①
当m＜0时，原不等式可化为：（sinx+1）（sinx-m）+(1)/(2)≥m，
整理得：sin²x-（m-1）sinx-2m+(1)/(2)≥0，
令h（t）=t²-（m-1）t-2m+(1)/(2)≥0（0≤t≤1），
要使t²-（m-1）t-2m+(1)/(2)≥0（0≤t≤1）恒成立，
应有

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