已知m+n=1,求m2+n2的最小值

Question

已知m+n=1,求m2+n2的最小值

Answer 1

方法一：由 m+n=1 得 m=1-n ,
所以 m^2+n^2=(1-n)^2+n^2=2n^2-2n+1=2(n-1/2)^2+1/2 ,
因此,当 n=1/2(此时m=1/2) 时,m^2+n^2 最小值为 1/2 .
方法二：由均值不等式得 2mn=1-(m^2+n^2) ,
因此 解得 m^2+n^2>=1/2 ,当且仅当 m=n=1/2 时,m^2+n^2 取最小值 1/2 .
方法三：令 t=m^2+n^2 ,
将 m=1-n 代入可得 (1-n)^2+n^2=t ,
化简得 2n^2-2n+1-t=0 ,
这个二次方程有实根 ,因此判别式=4-8(1-t)>=0 ,
解得 t>=1/2 ,即当 m=n=1/2 时,m^2+n^2 取最小值 1/2 .
方法四：设 m^2+n^2=r^2 ,
由于直线 m+n=1 与圆 m^2+n^2=r^2 有公共点,
因此圆心到直线的距离不超过半径 ,
所以,1/√2=1/2 ,即当 m=n=1/2 时,m^2+n^2 取最小值 1/2 .