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(2009•上海)已知{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.(1)若an=3n+1,是否存在m、k∈N*,有am+am+1=ak?说明理由;(2)找出所有数列{an}和{bn},使对一切n∈N*,an+1an=bn,并
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(2009•上海)已知{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.
(1)若an=3n+1,是否存在m、k∈N*,有am+am+1=ak?说明理由;
(2)找出所有数列{an}和{bn},使对一切n∈N*,
=bn,并说明理由;
(3)若a1=5,d=4,b1=q=3,试确定所有的p,使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项,请证明.
(1)若an=3n+1,是否存在m、k∈N*,有am+am+1=ak?说明理由;
(2)找出所有数列{an}和{bn},使对一切n∈N*,
an+1 |
an |
(3)若a1=5,d=4,b1=q=3,试确定所有的p,使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项,请证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)由am+am+1=ak,得6m+5=3k+1,
整理后,可得k−2m=
,∵m、k∈N*,∴k-2m为整数,
∴不存在m、k∈N*,使等式成立.
(2)设an=nd+c,若
=bn,对n∈N×都成立,
且{bn}为等比数列,则
/
=q,对n∈N×都成立,
即anan+2=qan+12,∴(dn+c)(dn+2d+c)=q(dn+d+c)2,
对n∈N×都成立,∴d2=qd2
(i)若d=0,则an=c≠0,∴bn=1,n∈N*.
(ii)若d≠0,则q=1,∴bn=m(常数),即
=m,则d=0,矛盾.
综上所述,有an=c≠0,bn=1,使对一切n∈N×,
=bn.
(3)an=4n+1,bn=3n,n∈N*,
设am+1+am+2++am+p=bk=3k,p、k∈N*,m∈N.
p=3k,
∴4m+2p+3=
,
∵p、k∈N*,∴p=3s,s∈N
取k=3s+2,4m=32s+2-2×3s-3=(4-1)2s+2-2×(4-1)s-3≥0,由
二项展开式可得整数M1、M2,
使得(4-1)2s+2=4M1+1,2×(4-1)s=8M2+(-1)S2
∴4m=4(M1-2M2)-((-1)S+1)2,
∴存在整数m满足要求.
故当且仅当p=3s,s∈N,命题成立.
整理后,可得k−2m=
4 |
3 |
∴不存在m、k∈N*,使等式成立.
(2)设an=nd+c,若
an+1 |
an |
且{bn}为等比数列,则
an+2 |
an+1 |
an+1 |
an |
即anan+2=qan+12,∴(dn+c)(dn+2d+c)=q(dn+d+c)2,
对n∈N×都成立,∴d2=qd2
(i)若d=0,则an=c≠0,∴bn=1,n∈N*.
(ii)若d≠0,则q=1,∴bn=m(常数),即
dn+d+c |
dn+c |
综上所述,有an=c≠0,bn=1,使对一切n∈N×,
an+1 |
an |
(3)an=4n+1,bn=3n,n∈N*,
设am+1+am+2++am+p=bk=3k,p、k∈N*,m∈N.
4(m+1)+1+4(m+p)+1 |
2 |
∴4m+2p+3=
3k |
p |
∵p、k∈N*,∴p=3s,s∈N
取k=3s+2,4m=32s+2-2×3s-3=(4-1)2s+2-2×(4-1)s-3≥0,由
二项展开式可得整数M1、M2,
使得(4-1)2s+2=4M1+1,2×(4-1)s=8M2+(-1)S2
∴4m=4(M1-2M2)-((-1)S+1)2,
∴存在整数m满足要求.
故当且仅当p=3s,s∈N,命题成立.
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