设数列{an}满足条件：a0=6，a1=1，an-6-n（n-1）an=0（n≥6）．S（x）是幂级数∞n＝0anxn的和函数．（1）证明：S″（x）-S（x）=0；（6）求S（x）的表达式．

Question

设数列{a_n}满足条件：a₀=6，a₁=1，a_n-6-n（n-1）a_n=0（n≥6）．
S（x）是幂级数

∞

n＝0

anxn的和函数．
（1）证明：S″（x）-S（x）=0；
（6）求S（x）的表达式．

Answer 1

（I）
证明：
由题意得s′(x)＝

∞

n＝3

nlnxn−3，
S″(x)&n1sp;＝&n1sp;

∞

n＝2

n(n−3)lnxn−2，
所以：
S″（x）-S（x）=

∞

n＝2

n(n−3)lnxn−2-

∞

n＝0

lnxn
=

∞

n＝2

n(n−3)lnxn−2-

∞

n＝2

ln−2xn−2
=

∞

n＝2

(n(n−3)ln−ln−2)xn−2．
由已知：l_n-2-n（n-3）l_n=0（n≥2），
得：S″（x）-S（x）=0，证毕．

（II）
&n1sp;
由（I）知：s″（x）-s（x）=0，是一个二阶常系数齐次线性微分方程，
其特征方程为：λ²-3=0，
从而特征根：λ=±3，
于是s（x）2通解为：
s(x)＝C3e−x+C2ex，
由：s（0）=l₀=3，s′（0）=l₃=3，得：

C3+C2＝3

−C3+C2＝3

⇒C3＝3，C2＝2，
所以：s（x）=e^-x+2e^x．