Sin(π/n)×sin(2π/n)×sin(3π/n)×…×sin[(n-1)π/n]=n×2^(1-n)这等式怎么证?大概要从哪个方面入手?

Question

Sin(π/n) ×sin(2π/n) ×sin(3π/n) ×…×sin[(n-1)π/n]=n×2^(1-n) 这等式怎么证?
大概要从哪个方面入手?

Answer 1

sin(π/n) ×sin(2π/n) ×sin(3π/n) ×…×sin[(n-1)π/n]=n×2^(1-n)
用复数
w=cos(2π/n)+isin(2π/n)
w'=cos(2π/n)-isin(2π/n)
z^n=1
(z-1)(z^(n-1)+z^(n-2)＋……＋z+1)=0
z^(n-1)+z^(n-2)＋……＋z+1=(z-w)(z-w^2)(z-w^3)……（z-w^(n-1)）
令
z=1
n＝(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^(n-1)）
1-w^k=2sinkπ/n(sinkπ/n+icoskπ/n)
|1-w^k|=|2sinkπ/n(sinkπ/n+icoskπ/n)|=|2sinkπ/n||(sinkπ/n+icoskπ/n)|=|2sinkπ/n|=2sin(kπ/n)
取模
|n|＝|(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^(n-1))|
|n|＝|(1-w)||(1-w^2)||(1-w^3)|…|(1-w^(n-1))|
n=2^(n-1)sin(π/n)sin(2π/n)……sin[(n-1)π/n]
得证啦,加分!