一传送带装置示意如图，传送带在AB区域是倾斜的，倾角θ=30°．工作时传送带向上运行的速度保持v=2m/s不变．现将质量均为m=2kg的小货箱（可视为质点）一个一个在A处放到传送带上，放置小

Question

一传送带装置示意如图，传送带在AB区域是倾斜的，倾角θ=30°．工作时传送带向上运行的速度保持v=2m/s不变．现将质量均为m=2kg的小货箱（可视为质点）一个一个在A处放到传送带上，放置小货箱的时间间隔均为T=1s，放置时初速为零，小货箱一到达B处立即被取走．已知小货箱刚放在A处时，前方相邻的小货箱还处于匀加速运动阶段，此时两者相距为s₁=0.5m．传送带装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦，取g=10m/s²．
（1）求小货箱在传送带上做匀加速运动的加速度大小．
（2）AB的长度至少多长才能使小货箱最后的速度能达到v=2m/s？
（3）除了刚释放货箱的时刻，若其它时间内总有4个货箱在传送带上运动，求每运送一个小货箱电动机对外做多少功？并求电动机的平均输出功率．

Answer 1

（1）小货箱刚放在A处时，前方相邻的小货箱已经运动了时间T．有：
s1＝(1)/(2)aT2
代入数据解得加速度大小为：
a=1m/s²；
（2）AB的长度至少为l，则货箱的速度达到v=2m/s时，有：
v²=2al
代入数据解得AB的长度至少为：
l=2m
（3）传送带上总有4个货箱在运动，说明货箱在A处释放后经过t=4T的时间运动至B处．
货箱匀加速运动的时间是：t1＝(v)/(a)=2s
设货箱受到的滑动摩擦力大小为f，由牛顿定律得：f-mgsinθ=ma，
这段时间内，传送带克服该货箱的摩擦力做的功为：W₁=fvt₁
代入数据解得：W₁=48J
货箱在此后的时间内随传送带做匀速运动，传送带克服该货箱的摩擦力做的功为：W₂=mgsinθv（t-t₁），
代入数据解得：W₂=40J
每运送一个小货箱电动机对外做的功为：W=W₁+W₂=88J
放置小货箱的时间间隔为T，则每隔时间T就有一个小货箱到达B处，因此电动机的平均输出功率为：

.

P

＝(W)/(t)=88W．
在计算货箱匀加速过程的功时，也可以用以下方式
对货箱，由动能定理得：(f−mgsinθ)•s1＝(1)/(2)mv2
s1＝(1)/(2)a

t

2 1

货箱与传送带发生相对位移产生的热为：Q=f（vt-s₁）
电动机对传送带做的功为：W1＝mgsinθ•s1+(1)/(2)mv2+Q
联立并代入数据解得：W₁=48J
答：（1）求小货箱在传送带上做匀加速运动的加速度大小为1m/s²；
（2）AB的长度至少2m，才能使小货箱最后的速度能达到v=2m/s；
（3）每运送一个小货箱电动机对外做48J的功，电动机的平均输出功率

.

p

为88W．