已知函数f（x）=exlnx+2ex-1x．（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）证明：f（x）>1．

Question

已知函数f（x）=e^xlnx+(2ex-1)/(x)．
（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）证明：f（x）>1．

Answer 1

（1） 函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=exlnx+(ex)/(x)+(2xex-1-2ex-1)/(x2)…（2分）
由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，
故曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=e（x-1）+2；                              …（4分）
（2）证明：由（1）知，f（x）=e^xln x+(2)/(x)e^x-1，
从而f（x）>1等价于xln x>xe^-x-(2)/(e)．…（6分）
设函数g（x）=xln x，
则g′（x）=1+ln x，
所以当x∈（0，(1)/(e)）时，g′（x）<0；
当x∈（(1)/(e)，+∞）时，g′（x）>0．
故g（x）在（0，(1)/(e)）上单调递减，在（(1)/(e)，+∞）上单调递增，
从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（(1)/(e)）=-(1)/(e)．…（8分）
设函数h（x）=xe^-x-(2)/(e)，则h′（x）=e^-x（1-x）．
所以当x∈（0，1）时，h′（x）>0；
当x∈（1，+∞）时，h′（x）<0．
故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=-(1)/(e)．…（10分）
因为g_min（x）=h（1）=h_max（x），
所以当x>0时，g（x）>h（x），即f（x）>1．…（12分）