在高中数学中雯波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21…中有一个同学给出的通项式是An=（An+2）-（An+1...在高中数学中雯波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21…中有一个同学给出的通项式是An=（An+2）-（An+1）,式

Question

在高中数学中雯波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21…中有一个同学给出的通项式是An=（An+2）-（An+1...
在高中数学中雯波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21…中有一个同学给出的通项式是An=（An+2）-（An+1）,式中n在A的下方,2和1都是与n相加的,也在A的下方.但是书上的答案却不是这个.哪位高手说下上式哪错了?

Answer 1

这个是个递推式
通项式求法
由an+2= an+1+an
有an+2- an+1- an=0
构造特征方程 x2-x-1=0,
令它的两个根是p,q 有pq=-1 p+q=1
下面我们来证 {an+1-pan}是以q为公比的等比数列.
为了推导的方便,令a0=1,仍满足an+2= an+1+an
an+1-pan
= an+an-1 -pan
= (1-p) an-pqan-1
=q(an-pan-1)
所以：{an+1-pan}是以q为公比的等比数列.
a1-pa0
=1-p=q
所以 an+1-pan=q*qn=qn+1 ①
同理 an+1-qan=p*pn=pn+1 ②
①-②:(q-p)an= qn+1-pn
因p=(1-√5)/2,q=(1+√5)/2,q-p=√5,所以
an=(1/√5){[(1+√5)/2]n+1-[(1-√5)/2] n+1}
可验证a0,a1也适合以上通项公式.