当a满足什么条件时,关于X的方程IX-2I-IX-5I=a有一解?有无数多个解?

Question

当a满足什么条件时,关于X的方程IX-2I-IX-5I=a有一解?有无数多个解?

Answer 1

若x ≤ 2,则
|x - 2| - |x - 5| = 2 - x - (5 - x) = -3,
可见若a = -3则任意x ≤ 2为方程的解,方程有无数解.而若a ≠ -3则方程在x ≤ 2的区间内无解.
若2 < x < 5,则
|x - 2| - |x - 5| = x - 2 - (5 - x) = 2x - 7,
由2 < x < 5知,-3 < 2x - 7 < 3.由于2x - 7 = a,可见若想方程在2 < x < 5区间内有解,必有-3 < a < 3.则若-3 < a < 3,则方程有唯一x = (7+a) / 2.若a ≤ -3 或 a ≥ 3则方程在2 < x < 5区间内无解.
若x ≥ 5,则
|x - 2| - |x - 5| = x - 2 - (x - 5) = 3,
可见若a = 3则任意x ≥ 5为方程的解,方程有无数解.而若a ≠ 3则方程在x ≥ 5的区间内无解.
综上
若a ≤ -3 或 a ≥ 3,则方程在x ≤ 2,2 < x < 5和x ≥ 5区间内都无解,显然方程在整个实数集上无解；
若a = -3,则方程在x ≤ 2上有无穷多解,而在2 < x < 5和x ≥ 5区间内无解；
若a = 3,则方程在x ≥ 5上有无穷多解,而在x ≤ 2和2 < x < 5区间内无解；
若-3 < a < 3,在2 < x < 5区间内有唯一x = (7+a) / 2,而在x ≤ 2和x ≥ 5区间内无解.
结论：
若a ≤ -3 或 a ≥ 3,方程无解；
若a = -3或a = 3,方程有无穷多解；
若-3 < a < 3,方程有唯一解.