解释一道例题哪位高手专家教授帮我解释一下近世代数中的一道例题：例子：一个不可解的五次方程考虑整系数多项式f(x)=x^5−x−1.根据一次因式检验法,f(x)无有理根.由整系数之

Question

解释一道例题
哪位高手专家教授帮我解释一下近世代数中的一道例题：
例子：一个不可解的五次方程
考虑整系数多项式 f(x) = x^5 − x − 1.根据一次因式检验法,f(x) 无有理根.由整系数之故,模任意素数 p 后可视之为有限域上的多项式fp ,相应的伽罗瓦群记为Gp .取 p = 2,3,易见 fp 在 Z/pZ 上无一次因式.
f2可分解为 (x^2 + x + 1)(x^3 + x^2 + 1),故 G2 为六阶循环群.
f3无二次因子,故 G3 为五阶循环群.
注意到 Gp 是 f(x) 的伽罗瓦群的子商.S5 的子群若含有六阶及五阶元素,则该子群生成 S5.于是 f(x) 的伽罗瓦群为 S5,故无根式解.
对“f2可分解为 (x^2 + x + 1)(x^3 + x^2 + 1)，故 G2 为六阶循环群”不明白。

Answer 1

估计百度无高手专家教授.