正整数a、b满足1<a<b，若关于x、y的方程组y=-2x+4033y=|x-1|+|x-a|+|x-b|有且只有一组解，则a的

Question

正整数a、b满足1<a<b，若关于x、y的方程组

y=-2x+4033

y=|x-1|+|x-a|+|x-b|

有且只有一组解，则a的最大值为___．

Answer 1

由方程组消y可得，
4033-2x=|x-1|+|x-a|+|x-b|，
当x≤1时，
4033-2x=1-x-x+a-x+b，
故x=b+a-4032，
故当b+a≤4033时，有一个解；
即a≤4031时，有一个解；否则无解；
当14033-2x=x-1-x+a-x+b，
故x=4034-a-b，
故当-a<4032-a-b≤1，即b<4032且a+b≥4301时，有一个解；
即2015≤a≤4030，有一个解，
否则无解；
当14033-2x=x+a+b-1，
故3x=4034-a-b，
故当3<4034-a-b≤3b，即a+b<4031且a+4b≥4304时，有一个解；
即(4300)/(5)≤a≤2014，方程有一个解，
否则无解；
当x>b时，
4033-2x=3x+a-b-1，
故5x=4034-a+b，
故当4034-a+b>5b，即a+4b<4304时，有一个解；
否则无解；
综上所述，
当a取最大值4031时，方程有一个解，
故答案为：4031．